Über logik habe ich ja schon zweimal geschrieben (über das
Hörnerproblem und das
Bratwurstparadox); gestern nacht nun traf ich bei
Elsa, die sich derzeit in ihrem studium der philosophie mit logik beschäftigt, auf ein problem, das mir keine ruhe ließ.
Das Problem
Wenn die Proposition „Einige Heilige waren Märtyrer“ wahr ist, was läßt sich daraus hinsichtlich der Wahrheit, Falschheit oder Unbestimmtheit der folgenden Propositionen ableiten:
1) Alle Heiligen waren Märtyrer
2) Einige Nicht-Märtyrer waren nicht Nicht-Heilige
3) Kein Nicht-Heiliger war ein Märtyrer
4) Einige Nicht-Märtyrer waren Heilige
5) Einige Märtyrer waren nicht Nicht-Heilige
Die Lösung (Vorschlag)
Zunächst: Was heißt „wahr“, „falsch“ und „unbestimmt“? Man darf hier nicht vom Alltagsgebrauch dieser Begriffe ausgehen, sondern sie sind streng logisch aufzufassen. „Wahr“ hinsichtlich der prämisse („Einige heilige waren märtyrer“) ist einer der Sätze 1–5 gdw er logisch aus der prämisse folgt, oder anders gewendet, wenn seine negation in widerspruch zur prämisse steht. „Wahr“ bedeutet
nicht „möglich“ oder „widerspruchsfrei denkbar“. Ist letzteres der fall, aber die folge nicht zwingend, dann ist der satz hinsichtlich der prämisse unbestimmt. „Falsch“ ist einer der sätze 1–5 gdw seine negation aus der prämisse folgt. Und noch eine begriffsbestimmung, die vieles erleichtert: „Einige“ ist im logischen sinn verschärft zu lesen als „mindestens einer“.
Sehen wir uns jetzt die sätze im einzelnen an:
„Alle heiligen waren märtyrer“. Das ist vielleicht der einfachste fall und illustriert einen klassischen fehlschluß (und gleichzeitig das – logisch unzulässige – verfahren empirischer hypothesenbildung, aber das ist ein anderes thema). Aus „einige“ folgt niemals „alle“. Nun besteht die schwierigkeit hier zu trennen zwischen dem befund „folgt nicht“ und der feststellung „ist falsch“. Denn: angenommen 1) ist wahr: entsteht ein widerspruch zur prämisse? Nein. Also folgt 1) weder aus der prämisse, noch widerspricht 1) der prämisse, also ist 1) unbestimmt. Umgekehrt folgt die prämisse zwar aus 1), aber der umkehrschluß gilt eben nicht.
„Einige nicht-märtyrer waren nicht-heilige“. Auch dieser fall läßt sich rasch abhandeln: Da er nur von im sinne der prämisse nicht-relevanten Mengen handelt, ist er für die prämisse belanglos. Es ist schlichtweg egal, was nicht-heilige und nicht-märtyrer waren oder nicht waren. Nehmen wir an, 2) ist wahr: dann gibt es mindestens eine Person, die kein heiliger und kein märtyrer ist. Wir wollen diese person Peter nennen. Widerspricht Peters existenz der prämisse „Einige heilige waren märtyrer“? Nein, denn die aussage ist ja über heilige und märtyrer, und Peter ist weder das eine noch das andere. Folgt Peters existenz aus der prämisse? Auch nicht, denn daß es heilige gab, die märtyrer waren, läßt keinen schluß auf eventuelle nicht-heilige und ihre eigenschaften zu.
„Kein nicht-heiliger war ein märtyrer“. Hier hilft eine kleine umformulierung: 3) ist äquivalent mit dem leichter zu erfassenden „Nur heilige waren märtyrer“. Der satz folgt nicht aus der prämisse, noch steht er in widerspruch zu ihr. Denn in der prämisse wird lediglich behauptet, daß es mindestens einen heiligen gibt, der auch märtyrer war, das heißt, man kann die negation von 3) „Einige nicht-heilige waren märtyrer“ widerspruchsfrei zur prämisse denken, die nur aussagen über heilige macht. Etwas theologischer formuliert: Was einige nicht-heilige waren, ist für die heiligen nicht von belang. Ebensowenig folgt 3) aus der prämisse. Aus „einige“ folgt nicht „einige und nur diese“.
Also ist 3) hinsichtlich der prämisse unbestimmt.
„Einige nicht-märtyrer waren heilige“. Also gibt es mindestens eine person, die kein märtyrer war, aber dennoch ein heiliger. Steht diese aussage mit der beobachtung, daß einige heilige märtyrer waren, in widerspruch? Nein. Steht die
negation von 4), also „kein nicht-märtyrer war ein heiliger“ in widerspruch zur prämisse? Umformulieren hilft auch hier: „Nur märtyrer waren heilige“. Das ist mit „Einige heilige waren märtyrer“ voll und ganz vereinbar. Die negation von 4) ist sogar die stärkere behauptung.
Also ist 4) hinsichtlich der prämisse unbestimmt.
„Einige märtyrer waren nicht nicht-heilige“. Dieser satz ist hinsichtlich der prämisse tatsächlich wahr, das heißt, es ist nicht möglich, daß die prämisse wahr, 5) aber falsch ist. Was heißt es nämlich,
nicht ein nicht-heiliger zu sein? Es bedeutet, kein nicht-heiliger zu sein, was, zumindest in der theologisch einfacheren welt der logik, wo man immer eindeutig heilig ist oder nicht, darauf hinausläuft, ein heiliger zu sein. Also: „Einige märtyrer waren heilige“. Diese feststellung aber folgt aus „Einige heilige waren märtyrer“, denn ihrzufolge gibt es mindesten eine person, die beides war, heiliger und märtyrer. Nennen wir diese person Cecilia. Aus der existenz Ceciliens folgt nun, daß sowohl gilt, daß mindestens ein heiliger ein märtyrer war (nämlich Cecilia), als auch, daß mindestens ein märtyrer ein heiliger war (nämlich Cecilia). Wir haben also von der prämisse auf einen einzelfall geschlossen (Cecilia), und aus diesem einzelfall auf die proposition von 5). Da man immer aus einem existenzsatz einen einzelfall annehmen kann, folgt also 5) aus der prämisse.
Man kann auch den umgekehrten weg beschreiten und zeigen, daß die negation von 5) einen widerspruch zur prämisse generiert: „Nicht einige märtyrer waren nicht nicht-heilige“, was sich übersetzen läßt als „Alle (nicht einige nicht, also keine nicht, also alle) märtyrer waren nicht-heilige“. Aber es gibt doch Cecilia, heilige und märtyrerin! Also ist die negation von 5) hinsichtlich der prämisse falsch. Also ist 5) hinsichtlich der prämisse wahr.
